PROJET N° 4

STABILISATION D'UN SATELLITE PAR MOMENT CINETIQUE EMBARQUE

Dernière mise à jour 11/2001, revu 2011

Ce projet est plus particulièrement destiné à des étudiants ayant de bonnes connaissances en mécanique classique et la volonté d'assimiler des concepts nouveaux, ici la théorie de la stabilisation d'un satellite par moment cinétique embarqué, l'utilisation de tuyères générant des couples et éventuellement la mise en œuvre de magnétocoupleurs.

Même si le site ou le cours sont plus spécialement orientés vers la trajectographie, un projet de SCA ( Système de Contrôle d'Attitude ) peut apporter un plus, à quiconque travaillera dans le domaine spatial. En effet dans la mise au point d'une mission les problèmes de SCAO ( Système de Contrôle d'Attitude et d'Orbite) sont essentiels et intimement liés à la trajectographie et à la mission.

C'est une étude classique en SCA, que celle du comportement d'un satellite à moment cinétique embarqué. Les domaines d'exploration proposés dans ce projet sont :

 Le mouvement libre d'un satellite à moment embarqué, nutation et spin

 Le satellite sous perturbations de couple constant en axes satellites

 Le satellite sous perturbations de couple constant en axes inertiels

 Le contrôle d'attitude par tuyères déclenchées sur des tops commandés par le franchissement d'un seuil en roulis

 Le problème de la saturation de la roue et la mise en place d'une désaturation soit par tuyères ou par magnétocoupleurs si le temps le permet

La plupart des questions abordées sont développées sur le site, et naturellement encore d'avantage sur Internet où vous rechercherez de nombreux exemples sur des sites liés à l'industrie spatiale française, des données techniques et des illustrations concrètes.

Vous ne manquerez pas de fournir les adresses des bons sites, pour les générations d'étudiants futures.

I PREPARATION:

Voir impérativement les cours sur les angles de Cardan, la stabilisation par moment embarqué, le gradient de gravité, puis plus tard, si nécessaire, l'utilisation de magnétocoupleurs.

1°) Repères - Notations - Angles :

Ra = O X Y Z est un repère galiléen ou inertiel, qu'il n'est pas utile de préciser outre mesure, on pourra, en hypothèse képlérienne le supposer attaché à l'orbite, avec par exemple Y dans le sens du moment cinétique réduit.

Le satellite S est en orbite, supposée circulaire, de rayon r_o, la pulsation orbitale est wo. Il est pour l'instant inutile de préciser plus la trajectoire.

On désigne par S x y z le repère R, principal d'inertie pour le satellite, avec I_R, I_T, I_L les moments principaux d'inertie. Conventionnellement, on adopte les dénominations x axe de roulis(R), y de tangage(T) et z de lacet(L).

Nous intéressons au problème de la stabilisation d'un satellite devant conserver une attitude fixe par rapport à XYZ, la consigne ( x=X, y=Y, z=Z).

Pour un satellite stabilisé, devant garder ses axes quasiment fixes par rapport à Ra, nous sommes amenés à définir des angles particuliers, qui pour le cas d'espèce devront rester voisins de 0, "surveillés" par un contrôle actif ou passif.

Les repères sont définis comme suit, après avoir indiqué que l'axe a est la projection sur le plan horizontal X, Y de l'axe x ( avec une singularité évidente pour q = 90°). La succession des changements de base est :

XYZ --- Y --> abZ -- q ---> xbg --- F --> xyz

Nous avons ainsi défini les angles conventionnels, dits angles de Cardan, plus adaptés que les angles d'Euler, au cas des petits angles:

Roulis F mesuré autour de x ( voisin de X lorsque les angles sont petits)

Tangage q mesuré autour de y ( voisin de Y lorsque les angles sont petits)

Lacet Y mesuré autour de z ( voisin de Z lorsque les angles sont petits)

La matrice P de passage de XYZ à xyz s'explicite classiquement :

2°) COUPLES EN ACTION :

On note ci-contre, la somme des couples perturbateurs et des couples de commande générés par des actuateurs, dont vous présenterez les principaux. Les composantes sont en axes satellite

3°) EQUATIONS D'EVOLUTION :

Nous nous limitons au cas d'un satellite avec une seule roue, à moment cinétique porté par l'axe de tangage y du satellite.

Vous montrerez mathématiquement, avec le théorème du moment cinétique appliqué à l'ensemble satellite + roue cinétique, en son centre d'inertie, en projection sur les axes satellite, et dans le cas des petits angles que les équations approchées du mouvement sont :

De toute évidence, la dérivée de H dans l'équation du tangage apparaît comme un couple de commande permettant de contrôler le tangage.

COMMANDE:

De type P.D ( proportionnel dérivée ) ou P.I.D ( proportionnel intégral dérivée )

Dans tous les cas, l'équation donnant l'évolution de H doit être intégrée dans le système différentiel des équations du mouvement.

4°) MISE SOUS FORME CANONIQUE :

Vous poserez un vecteur colonne X à 7 composantes, représentant la position angulaire et les vitesses angulaires Vous mettrez l'ensemble des équations sous la forme canonique d'un système d'ordre 1.

III VOTRE TRAVAIL:

NB: Les valeurs numériques proposées permettront au responsable du projet, lors de la mise au point de l'étude, de vérifier les résultats, vous avez cependant toute latitude pour en choisir d'autres, notamment des cas réels si vous obtenez la documentation technique.

DECLARATION DE PRECAUTION : Certaines valeurs sont volontairement surestimées, pour éviter des simulations sur des durées prohibitives. Notamment les couples perturbateurs sont quellquefois multipliés par 10 ou 100.

Vous vous renseignerez sur les niveaux réels des couples perturbateurs ou de commande. Vous pourrez ainsi commenter avec plus de précision le 'timing' des opérations

Satellite choisi: Inertie roulis = 400 m²kg, Inertie tangage = 500 m²kg, Inertie lacet = 300 m²kg

Orbite circulaire à 470 km du sol terrestre

1°) MOUVEMENT LIBRE :

Comme l'intégration ne va pas sans difficulté, des vérifications sont nécessaires:

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0.00008;v_tangage0=0;v_lacet0=0.00005;

Initialisation en position (rd)

roulis0=0.02;tangage0=0;lacet0=0.03;

Moment cinétique : H= -10 Nms

Simulation de 5640 secondes = T1 ( période du mouvement long terme)

Vous vérifierez, par un calcul mathématique des fréquences propres des petits mouvements et sur les résultats graphiques des simulations, les 2 périodes propres T1=5640 s et T2=217.7 secondes

Vous devriez obtenir un diagramme Lacet - Roulis mesurés en degrés comme ci-dessous.

Vous confirmeriez alors la validité des équations et de la méthode d'intégration.

Avec les mêmes conditions initiales et H = -50 Nms vous prendrez conscience du phénomène de raideur gyroscopique que vous expliquerez.

2°) MOUVEMENT PERTURBE PAR UN COUPLE CONSTANT EN AXES SATELLITES:

Avec par exemple un couple Cx = 8e-4 Nm ( volontairement exagéré pour avoir un effet significatif), Cy=Cz=0, vous constaterez un diagramme identique au précédent, mais décalé en translation. Vous ne manquerez pas de justifier ce résultat mathématiquement.

Que pensez-vous de l'évolution du moment cinétique H, pour un satellite parfaitement maîtrisé en tangage et soumis à un couple constant Cy sur l'axe tangage. Vous découvrez ainsi le phénomène de saturation de la roue, dont la vitesse de rotation est limitée inférieurement pour assurer une raideur gyroscopique suffisante et surtout supérieurement pour des contraintes technologiques de sécurité qui limitent la vitesse angulaire de la roue.

3°) MOUVEMENT PERTURBE PAR UN COUPLE CONSTANT EN AXES INERTIELS:

Vous vous convaincrez aisément qu'un couple constant en axes inertiels, sera vu dans les axes satellite comme tournant à la pulsation wo, notamment sur les axes lacet et roulis. Comme c'est une des fréquences propres du mouvement libre, il va y avoir amplification linéaire de la vibration dont l'amplitude va augmenter indéfiniment.

Dans le diagramme lacet-roulis, la courbe a une allure de spirale ( mouvement long terme ) festonnée par le mouvement de nutation court terme.

Sur l'axe de tangage, le couple perturbateur apparaît constant, conduisant à un résidu constant sur l'angle de tangage.

a) Vous montrerez ce résultat sur la simulation. Faisant varier le niveau de H, vous confirmerez l'effet de la raideur gyroscopique.

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0;v_tangage0=0;v_lacet0=0;

Initialisation de position en rd

roulis0=0.02;tangage0=0;lacet0=0.02;

Moment cinétique: H=-10Nms

Couple inertiel de 8e-5 Nm suivant la verticale ascendante à t = 0

b) Vous essaierez un couple sur l'axe tangage et en déduirez la nécessité d'un contrôle, par l'intermédiaire de la roue cinétique.

c) MOUVEMENT EN PRESENCE D'UN CONTRÔLE P.D PAR L'INTERMEDIAIRE DE LA DERIVEE DE H

Vous choisirez un retour critique avec un amortissement réduit de 0.7 et une pseudo période de 2000 secondes

Ce qui devrait donner K1=0.005 et K2=2.2, ce que vous confirmerez, avec l'allure ci-dessous du retour

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s).

v_roulis0=0;v_tangage0=-0.0001;v_lacet0=0;

INITIALISATION DES POSITIONS (rd )

roulis0=0.02;tangage0=0.05;lacet0=0.02;

H0=-20;K1=0.005;K2=2.2;

Vous ne manquerez pas de commenter le rôle du couple constant et surtout de son niveau, dans la stabilisation en tangage.

d) CONTRÔLE PID SUR L'AXE TANGAGE:

Vous le mettrez au point à votre goût et commenterez ses avantages

4°) MOUVEMENT SOUS GRADIENT DE GRAVITE SEUL:

a) Vous consulterez la théorie du gradient de gravité et l'introduirez dans vos équations. Ceci pour constater l'effet stabilisant, si les vitesses angulaires ne sont pas trop importantes ( Capture)

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0;v_tangage0=-0.0001;v_lacet0=0;

INITIALISATION DES POSITIONS ANGULAIRES EN rd

roulis0=0.02;tangage0=0.05;lacet0=0.02;

H0=-20 Nms; Absence de contrôle : K1=0;K2=0;

b) Même étude en présence des contrôles P.D ou P.I.D

5°) CONTRÔLE D'ATTITUDE:

Toutes les simulations sont traitées avec:

% Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0;v_tangage0=0;v_lacet0=0;

% INITIALISATION DES POSITIONS ANGULAIRES EN rd

roulis0=0.02;tangage0=0.02;lacet0=0.02;

a) CONTRÔLE SUR SEUIL ROULIS :

Ayant assimilé la notion d'échange roulis - lacet le long de la trajectoire, vous mettrez en place un contrôle sur seuil de roulis de 1°.5. C'est le cas d'un pointage grossier de préparation, avant un pointage fin éventuel à 0°.15 par exemple.

Conformément à la théorie, 2 coups de tuyères impulsionnels( nous prendrons sur 1 seconde) sont délivrés, espacés de la demi période de nutation T2( vous vous méfierez car elle varie en fonction de H ).

NB: Si vous parveniez à simuler des coups de tuyères, en impulsions de Dirac, ce serait parfait.

ATTENTION: La prise en compte des impulsions par l'algorithme d'intégration demande un pas très court de l'ordre de 0.1 seconde, alors que pour le reste de l'intégration 5 à 15 secondes peuvent convenir.

Le couple tuyère est pris 0.2094 Nm sur les axes roulis et lacet.

Initialisation en vitesses angulaires absolues (rd/s)

v_roulis0=0;v_tangage0=0;v_lacet0=0;

INITIALISATION DES POSITIONS ANGULAIRES EN rd

roulis0=0.02;tangage0=0;lacet0=0.02;

Un moment cinétique H = 20 N-m-s

Le biaisage est pris 45° ( |Cx| = |Cz| )

Vous pourriez obtenir un diagramme du type suivant :

Le graphe met bien en évidence les phases de nutation importantes après le premier coup de tuyère et avant le second qui annule la nutation.

b) CONTRÔLE DE LA SATURATION ET DESATURATION DE LA ROUE:

En présence d'un couple constant sur l'axe tangage, la vitesse de la roue augmente en valeur absolue et doit donc être limitée.

Pour ne pas attendre des temps trop importants, vous simulerez un couple tangage de 8e^-4 ou 8e^-5 Nm avec par exemple un couple constant [8e-5;8e-5;0]. De plus vous fixez une limite de l'ordre de 2 à 20 % au dessus de la vitesse de fonctionnement, pour avoir un temps de simulation acceptable. Vous vous renseignerez sur les valeurs réelles.

Vous traitez le cas d'un contrôle P.D renforcé( coefficient 10 peut être) et celui d'un P.I.D ( prendre au départ un coefficient K = 0.001, ensuite à votre gré, essayez avec K1 et K2 renforcés et multipliés par 2 ou plus), et comparerez les 2 cas. Les simulations peuvent être longues et atteindre 30 à 50000 secondes!!!

La désaturation sera réalisée avec un couple tuyère valant 1/100ème du couple tuyère du contrôle par seuil. Naturellement vous aurez désactivé le contrôle par seuil, mais vous conserverez tous les autres couples.

Vous présenterez les graphes des séquences de désaturation, le comportement en tangage. Vous fournirez aussi le diagramme lacet - roulis qui ne devrait pas être beaucoup affecté par la désaturation.

Vous commenterez l'utilisation d'un contrôle PID en comparaison avec le PD.

6°) DESATURATION PAR MAGNETOCOUPLEURS:

A ce stade du projet, vous avez déjà bien travaillé, mais vous pourriez faire encore mieux. Vous pouvez donc imaginer la mise en œuvre de magnétocoupleurs pour désaturer la roue.

La technique consiste à utiliser des bobines fixes dans le satellite, à moment magnétique commandé, destinées à créer des couples soit d'amortissement soit de désaturation de la roue, en utilisant le champ magnétique terrestre vu par le satellite. Une altitude basse est alors requise, c'est le cas à 470 km du sol.

Vous adoptez alors une orbite polaire, avec passage à l'équateur à t=0 seconde. Vous utilisez le modèle simplifié du champ magnétique et travaillez dans le cadre des petits angles. Bon travail.

a) CHAMP MAGNETIQUE TERRESTRE :

Le champ magnétique terrestre apparaît comme résultant d'un dipôle magnétique faisant un angle de 11° avec l'axe de rotation de la Terre et légèrement décentré. Le pôle sud du dipôle est dans l'hémisphère nord à 78°6 de latitude et 289°55 de longitude ouest, de plus ce dipôle dérive de 0.014°/an vers l'est et sa force augmente de 0.05% par an. C'est dire la complexité de sa représentation.

Pour une première étude de stabilisation par magnéto-coupleurs et une bonne compréhension du phénomène, nous nous contenterons d'un modèle simple

Hypothèses :

On assimile le champ magnétique terrestre à celui d'un dipôle magnétique placé suivant l'axe Nord-Sud de la Terre et présentant ainsi une symétrie de révolution autour de l'axe de rotation de la Terre.

0

où mo = 4 p 10^-7 et K= 6.413 10²¹ A-m²

N est la direction locale du Nord (pour nous magnétique et géographique à la fois avec la simplification adoptée).

L'orbite est supposée circulaire basse, polaire.

Le temps de référence t - t_N est pris nul à l'un des passages du satellite au nœud N ascendant ( passage de l'hémisphère sud à l'hémisphère nord ). On appelle j l'angle polaire du satellite compté à partir du nœud ascendant positivement autour de l'axe de tangage (axe également porteur du moment cinétique du satellite).

Le calcul des composantes de B sur X, Y, Z repère orbital local donne donc( vous le vérifierez ).

Champ magnétique en axes satellite et hypothèse des petits angles :

RAPPEL: Le vecteur champ magnétique terrestre calculé dans la base satellite en fonction des paramètres angulaires et des composantes de B dans le repère orbital est sous sa forme simplifiée:

Le vecteur champ magnétique terrestre calculé dans la base satellite en fonction des paramètres angulaires et des composantes de B dans le repère orbital, est dans le cas des petits angles de dépointage :

b) DESATURATION PAR MAGNETO-COUPLEURS :

Voir le cours sur les magnéto-coupleurs

On utilisera 2 magnétocoupleurs de même moment magnétique M de l'ordre de 10 à 100 A-m², fournissant un moment magnétique sur l'axe x et le même sur l'axe z. Pourquoi 2 ? Tout simplement parce qu'un magnétocoupleur ne peut pas donner de couple lorsque le champ est parallèle à son moment magnétique. Comme sur l'orbite le satellite voit le champ sur l'axe roulis x au passage de l'équateur et sur l'axe de lacet au passage des pôles, il faut prévoir de basculer de l'un sur l'autre, par exemple quand les normes des couples deviennent égaux. On peut aussi les garder tous les 2 pour plus d'efficacité.

Vous mettrez donc en place une détection de seuil de saturation et la mise en oeuvre des couples en essayant de ne pas déstabiliser le tangage de plus de 0°.15.

Renseignez vous sur les caractéristiques des bobines car elles conditionnent le poids des bobines.

Rédigé en novembre 2001, sept 2011

Pour utiliser la simulation sous Matlab:

1 - Aller ou télécharger le contenu du sous-répertoire CONT_MOM ( fonctions et simulation)

2 - Dans l'espace de travail Matlab, lancer la simulation MOM_SIM.M

Des gains sur chaque voie de couple permettent de faire agir le couple (gain à 1) ou de le supprimer (gain à 0) ou de le diminuer pour se rapprocher des valeurs réelles, division par 10 ou 50.

Couple constants en axes satellite(réglage des valeurs dans la boite)

Couples constants en axes inertiels et donc sinusoïdaux en axes satellites(réglages dans la boîte après calculs)

Gradient de gravité : rien à régler

Couple tuyères pour le contrôle roulis-lacet

Couple de désaturation, soit avec des tuyères soit avec des magnétocoupleurs.

L'initialisation et les données du contrôle se définissent dans le fichier MOM_DAT.M

La désaturation par tuyères est obtenue en fixant la variable magneto=0

La désaturation par magnétocoupleurs est obtenue en fixant la variable magneto=1

La désactivation de la désaturation est réalisée par la mise à 0 du gain sur cette voie.

Il suffit ensuite de cliquer sur la boite initialisation de la simulation, pour que celle-ci se fasse automatiquement ( on peut tout aussi bien lancer MOM_DAT dans l'espace de travail)

3 - Les graphes seront exploités dans l'espace de travail, grâce aux variables de sortie ou au diagramme lacet-roulis.